これまで10進法と2進法について学習してきました。
たとえば、10進法で表された数を「10進数」、2進法で表された数を「2進数」といいます。
ここでは、10進数とはどのような仕組みの数であるか、くわしく見ていきましょう。
10進数の「123」を例に10進数とはどういう値なのかを考えます。
次の図は「123」を桁(重み)ごとに分解した図です。
情報活用編プラス
第2章「コミュニケーションと情報デザイン」
IP01-01
デジタルデータとアナログデータ
10. n進数とは ( 10 / 17 )
n進数とは
スライドの学習の目的
10進数や2進数、16進数といったn進数について理解しよう。
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1. 10進数と2進数の仕組み
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2. 16進数
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3. n進数
1. 10進数と2進数の仕組み
『10進数の仕組み』
123を桁ごとに分解した例
10進数の「123」を桁(重みごとに)分解すると、「100が1つ」、「10が2つ」、「1が3つ」あることがわかります。
ここで、「100が・・・」や「10が・・・」、「1が・・・」の100、10、1の値を重みといいます。
各桁の重みは、10進数であれば10のべき乗で表すことができます。
10進数 123 の各桁のべき乗表現と桁の重み
| 桁数 | べき乗表現 | 桁の重み |
|---|---|---|
| 3桁目 | 102 | 100 |
| 2桁目 | 101 | 10 |
| 1桁目 | 100 | 1 |
この時の桁の重みの基(もと)になっている「10」の値を基数といいます。
『2進数の仕組み』
10進数と同じように2進数では、各桁に2のべき乗の重みがあります。
この時の桁の重みの基になっている値は「2」なので、2進数の基数は「2」です。
例えば、2進数「101」を桁ごとに分解すると、各桁の重みは次のように2のべき乗で表すことができます。
2進数「101」を桁ごとに分解した例
2進数 101 の各桁のべき乗表現と桁の重み
| 桁数 | べき乗表現 | 桁の重み |
|---|---|---|
| 3桁目 | 22 | 4 |
| 2桁目 | 21 | 2 |
| 1桁目 | 20 | 1 |
10進数の基数は「10」、2進数の基数は「2」です。
各桁の重みは、10進数の場合は10のべき乗、2進数の場合は2のべき乗です。
コンピュータの世界では、16進数がよく利用されます。
16進数について学習しましょう。
2. 16進数
コンピュータでの数値を表す時によく利用されるものに16進数があります。
16進数はコンピュータ内部で使われている2進数の値を効率よく表すことができます。
10進数は10種類の数字を使い、2進数は2種類の数字を使って表していました。
16進数は何種類の数字を使って表現するでしょうか？
16進数というから16種類の数字を使って表します！
そうです。
ただし、数字は0～9までの10種類しかないので、他の文字を数字に割り当てて16種類の数字を表しています。
16進数で使われる数字の種類
図のように10～15の数字にアルファベットの「A」～「F」の文字を割り当てることにより16種類の数字を表しています。
例えば、16進数で「A」と言われたら、10進数の「10」の数字と同じ値を、16進数の「F」であれば10進数の「15」と同じ値を表します。
16進数ではアルファベットのA～Fも数字か。
そうです。アルファベットの「A」～「F」は小文字の「a」～「f」でも構いません。
また、16進数は基数を16とした値なので、各桁の重みは16のべき乗で表せます。
例えば、16進数 B8F の各桁の重みは次のように考えます。
16進数 B8F 各桁のべき乗表現と桁の重み
| 桁数 | べき乗表現 | 桁の重み |
|---|---|---|
| 3桁目 | 162 | 256 |
| 2桁目 | 161 | 16 |
| 1桁目 | 160 | 1 |
10進数、2進数、16進数があることはわかりました。その他の進数はあるのですか？
それ以外の進数もあります。何進数でも構いません。n進数についてまとめましょう。
3. n進数
2進数、10進数、16進数と学習してきました。これ以外にも3進数、4進数、8進数など、数を「n進数」で表すことができます。
これまで学んだ内容をふまえて、n進数とはなにかまとめます。
あるn進数の値 XXX の場合、基数と各桁の重みは次のようになります。
n進数の各桁は基数をnとしたnのべき乗の重みがあります。
n進数の特徴をまとめると次のようになります。
- n進数とは ： 基数nを使って数を表す方法
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各桁の重み ： 1桁目（右から）順に
n0,n1,n2,．．． -
使える数字 ： 0～n-1まで（10進数は0～9まで、2進数は0～1まで）
ただし、大きなn進数の場合、10以上の数字はアルファベットで表すこともある(16進数ではA～F)
n進数について、分かりましたか？
次の3つの値を見て、小さい順に並べてみてください。
- ① 2進数 ： 10111
- ② 10進数 ： 22
- ③ 16進数 ： 18
③が小さそうだけれど、よくわかりません。
基数が違っているから単純に比較できなさそう。
単純に値を比べられないのは基数が合っていないためです。
例えば、全ての値を10進数に変換して同じ基数にすると比較することが簡単にできます。
ある数の基数を変換することを基数変換といいます。基数変換について学習しましょう。
